Zadania, w których dokładamy lub usuwamy fragmenty brył należą do trudnych lub bardzo trudnych. Dlaczego? Często usuwane fragmenty są wewnątrz brył i wtedy żaden rysunek czy animacja 3D nie pomoże - trzeba sobie samemu wyobrazić jak to tam wygląda. Są to zadania, przy których wyobraźnia przestrzenna musi pracować na 100% mocy.
Pytania w typowych treściach takich zadań dotyczą najczęściej podania objętości lub, co jest zawsze trudniejsze, pola powierzchni całkowitej takiej "nowej" bryły.
Oto przykład #2:
W sześcianie 3cm x 3 cm x 3cm (podobnym do kostki Rubika), dodano po kostce 1 cm3 do środka każdej ściany (zobacz rysunek).
Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej tej "nowej" bryły.
Aby móc sobie to lepiej wyobrazić, zobacz poniżej jak to wyglada w interaktywnym 3D - obracaj, przybliżaj, a prawym klawiszem myszki przesuwaj (prawie wszystkie klocki są w jednym kolorze aby nie rozpraszać mózgu, wystające odcinki pozwolą na lepszą orientację przy obrotach bryły, a lekkie odstępy pomiędzy kostkami pozwolą lepiej widzieć 3D).
Przesuwaj suwakiem pod bryłą aby "dodawać kostki".
Podane niżej wyjaśnienia sprawdziły się wśród uczniów ze słabą wyobraźnią 3D i są chyba najlepszą metodą w rozwiązywaniu tego typu zadań.
Obliczenie objętości jest tutaj łatwe, zaś kluczem do obliczenia pola powierzchni całkowitej jest miejsce, w którym kwadratowa ściana z małej (zielonej) kostki zostaje dołożona ("przyklejona") do środka ściany dużego sześcianu.
Na widocznym obok rysunku widać, że dwa kwadraty (1 cm2 każdy) po złączeniu "znikną" i nie biorą już udziału w obliczaniu pola całowitego "nowej" bryły.
Tak więc z pola powierzchni małego (zielonego) klocka zostaje już tylko 5 cm2 (6-1), zaś z pola ściany sześcianu zostaje 8 cm2 (9-1).
Sześcian miał krawędź 3 cm, więc jego objętość to: V = 3•3•3,
czyli V = 27 cm3
Dołożona kostka jest sześcianem o krawędzi 1 cm, więc jej objętość to 1 cm3. Dołożono 6 takich kostek, więc objętość nowej bryły to: 27 cm3 + 6 cm3 = 33 cm3
Pole powierzchni jednej ściany sześcianu to 3•3 = 9 cm2, ale jak było wyjaśnione wyżej, 1 cm2 "znika",więc zostaje 8 cm2. Ścian jest 6 więc 6 • 8 cm2 = 48 cm2.
Pole powierzchni małej (zielonej) kostki to 6•1 cm2 = 6 cm2, ale jak wyjaśnialiśmy wyżej, 1 cm2 "znika", więc pole zielonej kostki po "przyklejeniu to 5 cm2.
Takich zielonych kostek dołożono 6, więc ich łączne pole wynosi 6•5 cm2 = 30 cm2.
Ostatecznie pole powierzchni całkowitej "nowej" bryły to 48 cm2 (pole sześcianu) + 30 cm2 (pole zielonych kostek) = 78 cm2.
